Preimagen

En el contexto de las funciones, es importante entender la diferencia entre imagen y preimagen. Estos conceptos están relacionados con los conjuntos de partida y llegada de una función, y nos permiten comprender cómo se relacionan los elementos de ambos conjuntos.

La preimagen se refiere a los elementos del conjunto de partida, mientras que la imagen se refiere a los elementos del conjunto de llegada.

Definición de imagen y preimagen

La preimagen es cada elemento que forma parte del conjunto de partida o dominio de una función. Es decir, son los valores de entrada que se utilizan para obtener los valores de salida o imágenes.

La imagen es cada elemento del conjunto de llegada o codominio de una función. Son los valores resultantes de aplicar la función a los elementos del conjunto de partida.

Preimagen

La preimagen es cada elemento que forma parte del conjunto de partida o dominio de una función. Es decir, son los valores de entrada que se utilizan para obtener los valores de salida o imágenes.

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Imagen

La imagen es cada elemento del conjunto de llegada o codominio de una función. Son los valores resultantes de aplicar la función a los elementos del conjunto de partida.

Relación entre imagen y preimagen

La función establece una correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos, asignando a cada preimagen una imagen, o ninguna.

Correspondencia uno a uno

En algunos casos, una función puede tener una correspondencia uno a uno entre la preimagen y la imagen. Esto significa que cada elemento de la preimagen tiene una única imagen asociada, y cada elemento de la imagen tiene una única preimagen asociada.

Correspondencia muchos a uno

En otros casos, una función puede tener una correspondencia muchos a uno entre la preimagen y la imagen. Esto significa que varios elementos de la preimagen pueden tener la misma imagen asociada.

Correspondencia uno a muchos

Por último, una función también puede tener una correspondencia uno a muchos entre la preimagen y la imagen. Esto significa que un elemento de la preimagen puede tener varios elementos de la imagen asociados.

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Ejemplos

Para entender mejor la diferencia entre imagen y preimagen, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Consideremos la función f(x) = x^2. El conjunto de partida es el conjunto de todos los números reales, y el conjunto de llegada es el conjunto de todos los números reales no negativos.

Si tomamos la preimagen 2, podemos encontrar dos imágenes asociadas: -2 y 2. Esto muestra que la función tiene una correspondencia muchos a uno.

Ejemplo 2

Consideremos la función g(x) = 2x. El conjunto de partida es el conjunto de todos los números reales, y el conjunto de llegada es el conjunto de todos los números reales.

Si tomamos la preimagen 3, podemos encontrar una única imagen asociada: 6. Esto muestra que la función tiene una correspondencia uno a uno.

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Conclusión

La preimagen son los valores de entrada de una función, mientras que la imagen son los valores de salida de una función. La función establece una correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos, asignando a cada preimagen una imagen, o ninguna. Es importante entender esta diferencia para comprender cómo se relacionan los elementos de los conjuntos de partida y llegada en el contexto de las funciones.