Semiplano

En geometría euclidiana, un semiplano es una región del plano que está dividida por una línea recta en dos partes. Dependiendo de si la línea recta está incluida en una de las partes o no, se clasifica como semiplano cerrado o semiplano abierto. Exploraremos en detalle la definición, concepto y ejemplos de semiplano.

Definición de Semiplano

Un semiplano es una región del plano que está dividida por una línea recta en dos partes. Si la línea recta está incluida en una de las partes, se llama semiplano cerrado. Si la línea recta no está incluida, se llama semiplano abierto.

Semiplano Cerrado

Un semiplano cerrado es aquel en el que la línea recta que lo divide está incluida en una de las partes. En un sistema de coordenadas cartesianas, existen cuatro semiplanos cerrados: el semiplano superior, el semiplano inferior, el semiplano izquierdo y el semiplano derecho.

Semiplano Superior

El semiplano superior está formado por los puntos donde y es mayor que cero. Es decir, todos los puntos que se encuentran por encima de la línea recta que divide el plano.

Semiplano Inferior

El semiplano inferior está formado por los puntos donde y es menor que cero. Es decir, todos los puntos que se encuentran por debajo de la línea recta que divide el plano.

Semiplano Izquierdo

El semiplano izquierdo está formado por los puntos donde x es menor que cero. Es decir, todos los puntos que se encuentran a la izquierda de la línea recta que divide el plano.

Semiplano Derecho

El semiplano derecho está formado por los puntos donde x es mayor que cero. Es decir, todos los puntos que se encuentran a la derecha de la línea recta que divide el plano.

Semiplano Abierto

Un semiplano abierto es aquel en el que la línea recta que lo divide no está incluida en ninguna de las partes. En un sistema de coordenadas cartesianas, también existen cuatro semiplanos abiertos: el semiplano superior abierto, el semiplano inferior abierto, el semiplano izquierdo abierto y el semiplano derecho abierto.

Semiplano Superior Abierto

El semiplano superior abierto está formado por los puntos donde y es mayor que cero, pero no incluye la línea recta que divide el plano.

Semiplano Inferior Abierto

El semiplano inferior abierto está formado por los puntos donde y es menor que cero, pero no incluye la línea recta que divide el plano.

Semiplano Izquierdo Abierto

El semiplano izquierdo abierto está formado por los puntos donde x es menor que cero, pero no incluye la línea recta que divide el plano.

Semiplano Derecho Abierto

El semiplano derecho abierto está formado por los puntos donde x es mayor que cero, pero no incluye la línea recta que divide el plano.

Aplicaciones de los Semiplanos

Los semiplanos tienen diversas aplicaciones en diferentes áreas de la geometría y las matemáticas. Algunas de estas aplicaciones incluyen:

Geometría Afín

En geometría afín, las transformaciones afines del semiplano superior incluyen movimientos y escalados.

Geometría Métrica

En geometría métrica, la distancia entre dos puntos en el semiplano superior se puede definir utilizando bisectores perpendiculares y círculos centrados en la intersección de los bisectores y el límite del semiplano. Esta definición de distancia hace que el semiplano superior sea un espacio métrico, conocido como geometría hiperbólica. Esta definición se puede generalizar a espacios hiperbólicos de mayor dimensión, como el n-espacio hiperbólico.

Teoría de Números

En teoría de números, el estudio de ciertas funciones sobre el producto directo de n copias del semiplano superior se conoce como teoría de formas modulares de Hilbert. También existe el semiespacio superior de Siegel, que es el dominio de las formas modulares de Siegel.

Ejemplos de Semiplanos

A continuación, se presentan algunos ejemplos de semiplanos:

Ejemplo 1: Semiplano Superior

En un sistema de coordenadas cartesianas, el semiplano superior está formado por todos los puntos que se encuentran por encima de la línea recta y = 0.

Ejemplo 2: Semiplano Izquierdo Abierto

En un sistema de coordenadas cartesianas, el semiplano izquierdo abierto está formado por todos los puntos que se encuentran a la izquierda de la línea recta x = 0, pero no incluye la línea recta en sí.

Ejemplo 3: Semiplano Inferior Cerrado

En un sistema de coordenadas cartesianas, el semiplano inferior cerrado está formado por todos los puntos que se encuentran por debajo de la línea recta y ≤ 0, incluyendo la línea recta en sí.

Conclusión

Un semiplano es una región del plano que está dividida por una línea recta en dos partes. Dependiendo de si la línea recta está incluida en una de las partes o no, se clasifica como semiplano cerrado o semiplano abierto. Los semiplanos tienen diversas aplicaciones en geometría, matemáticas y teoría de números.