Progresión Geométrica

La progresión geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un valor constante llamado factor o razón. Esta secuencia puede tener un número finito de términos o puede extenderse hasta el infinito, en cuyo caso se le llama sucesión geométrica. Exploraremos en detalle la definición, el concepto y algunos ejemplos de progresiones geométricas.

Definición de Progresión Geométrica

La progresión geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un valor constante llamado factor o razón. Se denota comúnmente como a, ar, ar^2, ar^3, ..., donde a es el primer término y r es la razón.

Características de una Progresión Geométrica

• El primer término (a) es el valor inicial de la secuencia.
• La razón (r) es el factor constante por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente.
• La fórmula general para el término n-ésimo de una progresión geométrica es: a_n = a * r^(n-1).
• La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica finita se puede calcular utilizando la fórmula: S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r).

Una progresión geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un factor constante llamado razón. La razón determina cómo crecen o disminuyen los términos de la secuencia.

Sucesión Geométrica

Una sucesión geométrica es una progresión geométrica que se extiende hasta el infinito. En otras palabras, una sucesión geométrica es una secuencia infinita de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un valor constante llamado factor o razón.

La sucesión geométrica se puede representar de la siguiente manera: a, ar, ar^2, ar^3, ..., donde a es el primer término y r es la razón.

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Ejemplo de Sucesión Geométrica

Un ejemplo de sucesión geométrica es: 2, 6, 18, 54, 162, ... donde el primer término es 2 y la razón es 3. Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por 3.

En esta sucesión, el primer término es 2. El segundo término se obtiene multiplicando el primer término por la razón (2 * 3 = 6). El tercer término se obtiene multiplicando el segundo término por la razón (6 * 3 = 18), y así sucesivamente.

Esta sucesión geométrica se extiende hasta el infinito, ya que no hay un número finito de términos.

Interpolación de Términos

La interpolación de términos es una técnica utilizada para construir una progresión geométrica con números dados en los extremos. Esta técnica es útil cuando se conocen el primer término y el último término de una progresión geométrica, pero no se conoce la razón.

Cómo Interpolar Términos en una Progresión Geométrica

Para interpolar términos en una progresión geométrica, se deben seguir los siguientes pasos:

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1. Identificar el primer término (a) y el último término (b) de la progresión geométrica.
2. Calcular el número de términos (n) utilizando la fórmula: n = log_r(b/a) + 1, donde r es la razón.
3. Calcular la razón (r) utilizando la fórmula: r = (b/a)^(1/(n-1)).
4. Con la razón calculada, se pueden encontrar los términos intermedios utilizando la fórmula general de la progresión geométrica.

La interpolación de términos es útil cuando se desea encontrar los valores intermedios de una progresión geométrica sin conocer la razón. Esta técnica permite construir la secuencia completa a partir de los extremos conocidos.

Ejemplos de Progresiones Geométricas

A continuación, se presentan algunos ejemplos de progresiones geométricas:

Ejemplo 1

Progresión geométrica con primer término 2 y razón 3:

• Término 1: 2
• Término 2: 2 * 3 = 6
• Término 3: 6 * 3 = 18
• Término 4: 18 * 3 = 54
• Término 5: 54 * 3 = 162

En esta progresión geométrica, el primer término es 2 y la razón es 3. Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por 3.

Ejemplo 2

Progresión geométrica con primer término 5 y razón 2:

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• Término 1: 5
• Término 2: 5 * 2 = 10
• Término 3: 10 * 2 = 20
• Término 4: 20 * 2 = 40
• Término 5: 40 * 2 = 80

En esta progresión geométrica, el primer término es 5 y la razón es 2. Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por 2.

Ejemplo 3

Progresión geométrica con primer término 1 y razón 0.5:

• Término 1: 1
• Término 2: 1 * 0.5 = 0.5
• Término 3: 0.5 * 0.5 = 0.25
• Término 4: 0.25 * 0.5 = 0.125
• Término 5: 0.125 * 0.5 = 0.0625

En esta progresión geométrica, el primer término es 1 y la razón es 0.5. Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por 0.5.

Conclusiones

La progresión geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un valor constante llamado factor o razón. Las progresiones geométricas pueden tener un número finito de términos o pueden extenderse hasta el infinito en forma de sucesiones geométricas. La interpolación de términos es una técnica útil para construir una progresión geométrica cuando se conocen los extremos de la secuencia. A través de ejemplos, hemos visto cómo se pueden calcular los términos de una progresión geométrica y cómo se puede interpolar términos utilizando fórmulas específicas.